بررسي پايداري طرح تفاضلات متناهي غيراستاندارد براي حل معادلات ديفرانسيل با مشتقات نسبي خطي از مرتبه كسري

The Stability of Non-standard Finite Difference Scheme for Solution of Partial Differential Equations of Fractional Order

عمل گرهاي مشتق و انتگرال كسري مفهوم جديدي از مشتق و انتگرال از مرتبه دل خواه است. معادله ديفرانسيل با مشتقات نسبي(PDE )كه مشتقات موجود در آن بتوانند از مرتبه كسري باشند معادله ديفرانسيل با مشتقات نسبي كسري (FPDE )گفته مي شود. امروزه اين معادلات به دليل كاربرد زياد توجه ويژه اي را به خود معطوف داشته اند. در اين مقاله حالت نسبتاً كلي از يك FPDE مطرح مي شود، براي به دست آوردن طرحي عددي، مشتقات كسري موجود در معادله با استفاده يكي از تعاريف متداول گرانوالد- لتنيكوف، ريمان- ليوويل و كاپتو جاي گزين مي شوند و براي بهبود جواب عددي، مشتقات نسبي موجود در معادله با استفاده از طرح هاي تفاضلي غيراستاندارد (NSFD) گسسته سازي مي شوند. سپس پايداري طرح عددي حاصل بررسي مي گردد و ثابت مي شود روش معرفي شده غيرمشروط پايدار است. در پايان با هدف تاييد نتايج تئوري، تكنيك معرفي شده براي حل معادله موج با مرتبه كسري كه در فيزيك و شاخه هاي آن كاربرد فراواني دارد به كار مي رود. نتايج عددي مويد يافته هاي تئوري است و نشان از كارايي اين تكنيك دارد.

Fractional derivatives and integrals are new concepts of derivatives and integrals of arbitrary order. Partial differential equations whose derivatives can be of fractional order are called fractional partial differential equations (FPDEs). Recently، these equations have received special attention due to their high practical applications. In this paper، we survey a rather general case of FPDE to obtain a numerical scheme. The fractional derivatives in the equation are replaced by common definitions such as Grundwald-Letnikov، Riemann-Liouville and Caputo. To improve the numerical solution، partial derivatives inside the equation are discrete using non-standard finite difference scheme. Then، we survey the stability of numerical scheme and prove that the proposed method is unconditionally stable. Eventually، in order to approve the theoretical results، we use the presented technique to solve wave equation with fractional-order، which is very practical and widely used in physics and its branches. Numerical results confirm the findings of the theory and show that this technique is effective.