صورت به هنجار مداري خانواده اي از دستگاه هاي تكين هاپف- صفر

Orbital Normal Forms of Hopf-zero Singularity

نظريه صورت به هنجار كوتاه شده و تجزيه و تحليل دستگاه هاي تكين (منفرد)، ابزاري بسيار قوي براي درك مناسب از رفتار ها و انشعاب ها موضعي دستگاه هاي تكين هستند. در عين حال ديناميك صورت به هنجار كوتاه شده و ديناميك دستگاه اصلي هميشه معادل نيستند و آگاهي نداشتن نسبت به اين موضوع، مي تواند گمراه كننده باشد. در ابتداي پژوهش اين موضوع را به تفصيل توضيح مي دهيم و ابزار هاي مفيدي به منظور بررسي آگاهانه انشعاب ها صورت به هنجار دستگاه هاي تكين هاپف-صفر ارائه مي كنيم. دستگاه ديناميكي ( x'=F(x،µ را در نظر گرفته به طوري كه قسمت خطي آن داراي يك جفت مقدار ويژه موهومي و مقدار ويژه اي صفر باشد (تكيني (انفراد) هاپف صفر). اخيراً ساده ترين صورت به هنجار اين دستگاه تكين، از طريق نظريه نمايش جبر لي (sl(2و تجزيه فضا به زير فضاهاي پايستار و ناپايستار به دست آمده است. صورت به هنجار اين دستگاه تكين، به سه حالت كلي تقسيم مي شود. در اين مقاله به يكي از اين سه حالت مي پردازيم و نتايج به دست آمده به صورت به هنجار مداري توسيع مي دهيم. هم چنين صرف نظر از تكنيك هاي محاسباتي، روابطي به منظور محاسبه ضرايب صورت به هنجار تا مرتبه چهار كه در مسايل كاربردي حائز اهميت هستند، ارائه مي كنيم. در نهايت با استفاده از نتايج به دست آمده توضيح مي دهيم كه با استفاده از محاسبه صورت به هنجار دستگاه هاي تكين هاف-صفر و نظريه نمايش (sl(2 مي توان تابع انرژي احتمالي چنين دستگاه هايي را تقريب زد.

Consider a Dynamical system x'=F(x،µ) such that its linear part has a pair of imaginary eigenvalues and one zero eigenvalue (Hopf Zero singularity). Recently، the simplest normal form for this singular system has been obtained by sl(2) Lie algebra theory and the decomposition of space into variant and invariant subspaces. The normal form of this singular system is divided into three general cases. In this paper، the obtained results will be extended to orbital normal form and one of the three aforementioned cases will be discussed. The orbital obtained normal form will be simpler than the previous simplest normal form.