بررسي دقيق رفتار مدلهاي آشوبي با استفاده از روش نمودار دوشاخگي كيفي

Precisely chaotic models survey with Qualitative Bifurcation Diagram

روشِ اساسي براي شناسايي رفتار نگاشت‌هاي بازگشتي، ترسيم نمودار بايفوركيشن (دوشاخگي) است. در روش مرسوم با تغيير مقدار پارامترِ نگاشت، سري‌هاي زماني متعددي ايجاد مي‌شود و آن‌گاه با ترسيم مقادير اين سري‌ها در دوره ماندگار- بر حسب مقادير پارامتر- نمودار دوشاخگي به‌دست مي‌آيد. اين نمودارها، در تعيين دوره تناوب و همچنين جداسازي رفتارهاي با دورۀ تناوب طولاني، از رفتارهاي آشوب‌گونه، دقت كافي ندارند؛ و از طرف ديگر به‌دليل دو‌بعدي‌بودن نمودارها، امكان بررسي اثر شرط نخستين در شكل‌گيري بستر جذب وجود ندارد. نمودار ارائه‌شده در اين پژوهش كه آن را نمودار دوشاخگي كيفي (QBD)مي‌ناميم، امكان تعيين دقيق دوره تناوب را فراهم مي‌كند. با استفاده از QBD شناسايي مقاديري از شرط نخستين و پارامتر كه به‌ازاي آنها رفتار نگاشت، متناوب، شبه‌متناوب و يا آشوب‌گونه است، ممكن خواهد بود. نتايج به‌دست‌آمده از پياده‌سازي الگوريتم پيشنهادي بر روي نگاشت لاجستيك، بيان‌گر توانايي آن در تشخيص تناوب‌هاي بالا و پنجره‌هاي متناوب است. همچنين مشاهده شد، نمودار دوشاخگي لاجستيك از يك نظم موزاييكي (نظمي كه از چينش اجزا در كنارهم و نه براساس تعامل شكل بگيرد) بهره‌مند نيست و نظمي پويا دارد. مزيت‌هاي QBD بر روش معمول ترسيم نمودار دوشاخگي عبارتند از: تشخيص تناوب‌هاي بالا، تشخيص پنجره‌هاي متناوب، كاهش زمان محاسبات و نمايش دورۀ تناوب به‌جاي مقادير كمي دامنه. در ادامه اين پژوهش به‌صورت تحليلي نماي لياپانوف –به‌عنوان يكي از ابزاهاي متداول در شناسايي آشوب- مورد بررسي قرارگرفته و درباره صحت آن نكات قابل تأملي بيان شده است. در پايان به‌منظور ارزيابي روش پيشنهادي، تحليل كمي‌سازي بازگشت و QBD مورد مقايسه قرا‌رگرفته‌اند.

The most important method for behavior recognition of recurrent maps is to plot bifurcation diagram. In conventional method used for plotting bifurcation diagram, a couple of time series for different values of model parameter have been generated and these points have been plotted with due respect to it after transient state. It does not have enough accuracy necessary for period detection and essential for discrimination between long periodic behaviors from chaotic behaviors; on the other hand because of being 2-dimensinal, it will not be possible to investigate the effect if the initial condition is in the basin of attraction. In this research, a new bifurcation diagram is presented which is called: Qualitative Bifurcation Diagram (QBD). QBD provides accurate determination of periodicity. Results of our algorithm implementation on logistic map, represents its ability on determining long periods and period windows. Bifurcation diagram of logistic map does not obey mosaic tiling patterns (patterns that are created by arrangement not interaction) as a disciplinein addition to having the dynamic order. Some benefits of QBD are: long period discrimination, period window detection, computation time reduction, period presentation instead of amplitude show. In the following we have an analytical survey to Lyapunov exponent – as a usual measurement tool for chaotic behavior – and important notes are expressed. Finally, Recurrent Quantification Analysis (RQA) and QBD are compared.