توسعه الگوريتم ضمني براي گلركين گسسته مرتبه بالا جهت حل جريان تراكم‌پذير با استفاده از روش‌هاي نيوتن-كرايلف

Development of implicit Algorithm for High-order discontinuous Galerkin methods to solve compressible flows using Newton-Krylov methods

در اين مقاله، روش المان محدود-گلركين گسسته براي جريان تراكم‌پذير لزج و غيرلزج به‌صورت ضمني با استفاده از الگوريتم نيوتن-كرايلف با اهدف افزايش دقت محاسبات، سرعت و نرخ همگرايي مورد مطالعه قرار گرفته است. در اين راستا براي جريان غيرلزج، اعمال ويسكوزيته مصنوعي در نواحي داراي گراديان شديد باعث افزايش كيفيت نتايج حل بخصوص در مراتب بالا مي‌شود. همچنين در جريان لزج نيز استفاده از روش گسسته‌سازي گلركين گسسته متراكم براي ترم‌هاي بيضوي باعث بهبود نتايج شده است. براي افزايش سرعت محاسبات و نرخ همگرايي نيز حلگرهاي خطي همراه با شروع مجدد و ماتريس‌هاي پيش‌شرط ژاكوبي بلوكي و فاكتورگيري تجزيه ناقص مثلثي براي حل ماتريس ژاكوبين حاصل از روش اختلاف محدود اعمال مي‌شوند. شايان ذكر است، نحوه عملكرد ماتريس‌هاي پيش‌شرط براي سه جريان زيرصوت غيرلزج، گذراي صوت غيرلزج و زيرصوت آرام لزج بررسي شده است. همچنين براي تكميل مباحث، همواركننده چندشبكه‌اي با شرايط ويژه براي تمامي ماتريس‌هاي پيش‌شرط اعمال مي‌شود. از طرفي در تمامي جريان‌هاي اشاره شده با افزايش مرتبه حل، نرخ همگرايي كاهش مي‌يابد كه براي برطرف كردن اين مشكل از مراتب پايين تر بعنوان شرايط اوليه مراتب بالا و يك فاز مياني براي انتقال محاسبات از فضاي مرتبه پايين به بالا استفاده شده است. همچنين استفاده از گام زماني محلي براي بهبود نرخ همگرايي پيشنهاد مي‌شود. به‌اين ترتيب، روش عددي ارائه‌شده به‌عنوان يك الگوريتم كارآمد براي شبيه‌سازي جريان مرتبه بالا به‌خصوص جريان گذراي صوت غيرلزج و جريان لزج پيشنهاد مي‌گردد.

In this paper, an implicit finite element-discontinuous Galerkin method for compressible viscous and inviscid flow is developed using Newton-Krylov algorithm with the objective of increasing the accuracy and convergence rate. For inviscid flows, an artificial viscosity is implemented in sharp gradient flow regions especially at high-order cases, increasing the accuracy of the solution. Moreover, for viscous flows, the accuracy is improved by using compact discontinuous Galerkin discretization method for elliptical terms. To reduce the computing CPU time and increase the convergence rate, an iterative Krylov type preconditioned linear solver is applied. For preconditioning, restarting, Block-Jacobi and block incomplete-LU factorization are employed for solving the linear system of the Jacobian matrix. The Jacobian matrix is constructed via finite difference perturbation technique. In this context, the performance of preconditioning matrix for three types of flow regimes of inviscid subsonic, inviscid transonic and viscous laminar subsonic are studied. In addition to complete the discussions, multigrid smoother with special conditions is applied for all preconditioning matrices. To improve the solver performance for higher order discretization, a lower order solution may be used as higher orders initial condition. Therefore, a middle phase is needed to transfer calculations from low to high order discretized domain and then the final Newton phase is continued. In addition, local time stepping is implemented to improve the rate of convergence. Consequently, the presented numerical method can be used as an efficient algorithm for high-order Discontinuous Galerkin flow simulation, especially for transonic inviscid and laminar viscous flows.